Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの非効率性の主な理由の1つは、実際のプログラムにおいてほとんどの数値が小さいことです。たとえば、forループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkle木に基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めることになります。元の値自体が非常に小さい場合でもです。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となりました。

表1に示すように、第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースがあります。これに対して、二進数領域はビットを直接操作でき、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

表1:STARKsの進化経路

|代数|コーディングビット幅|代表システム| |------|----------|----------| | ジェネレーション1 | 252ビット | スタークウェア |
| ジェネレーション2 | 64ビット | プロンキー2 | | ジェネレーション3 | 32ビット | ベビーベア | | 第4代 | バイナリドメイン | Binius |

ゴールディロックス、ベイビーベア、メルセンヌ31など近年の新たな研究で発見された有限体に比べて、2進体の研究は1980年代に遡ります。現在、2進体は暗号学に広く応用されており、典型的な例は次の通りです:

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• F2128ドメインに基づくガロアメッセージ認証コード(GMAC)。

• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用;

• オリジナルのFRIおよびzk-STARKプロトコル、さらにSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さな体を使用する場合、拡張体の操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進体は、その安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張体に入る必要がなく、基本体で操作するだけで、小さな体で高効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する場合、2つの実際の問題が存在します：STARKsにおいてトレース表現を計算する際、使用するフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きくなければなりません；STARKsにおけるマークルツリーのコミットメントでは、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化された拡張後のサイズよりも大きくなければなりません。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することによって実現しています。まず、単変数多項式の代わりに多変数(具体的には多項式を使用し、"超立方体")hypercubes(上でのその値を通じて全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形)square(と見なすことができ、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しながら、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常以下の二つの部分を含んでいます:

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明) Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(: PIOPは証明システムの核心として、入力される計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が多項式を段階的に送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム)Polynomial Commitment Scheme, PCS(: 多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一種であり、これを通じて証明者はある多項式にコミットし、その後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI)Fast Reed-Solomon IOPP(、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的なニーズに基づいて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際には、選択されたPIOPとPCSが使用される有限体または楕円曲線に一致する必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズや検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかも決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields)のタワーバイナリドメイン(towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル)PIOP(で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム)スモールフィールドPCS(を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

) 2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワービナリーフィールドは、高速かつ検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。バイナリーフィールドは本質的に高度に効率的な算術操作をサポートしており、性能要件に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢となっています。さらに、バイナリーフィールドの構造は、簡素化された算術化プロセスをサポートしており、すなわちバイナリーフィールド上で実行される演算は、コンパクトかつ検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的な特性を十分に活用できる能力により、バイナリーフィールドはBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列が直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビットに収めることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一のフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの便利さを備えています。素数フィールドFpにおいて、一般的な縮約方法にはBarrett縮約、Montgomery縮約、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特別な縮約方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的に使用される縮約方法には特殊縮約###があり、AESで使用される(、Montgomery縮約)があり、POLYVALで使用される(、再帰的縮約)があり、Tower(があります。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』では、バイナリーフィールドは加算および乗算演算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であると指摘されています。なぜなら、)X + Y (2 = X2 + Y 2 の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールドのユニークな要素として見なすことができるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(に過ぎず、とても興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算コストなしにより大きなフィールド要素にパッキングできます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」という論文では、nビットタワー型バイナリフィールドにおける)mビットサブフィールド(での乗算、平方、逆演算の計算複雑度について探討されています。

! [Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(

) 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、一連のコアチェックメカニズムを採用して多項式と多変数集合の正しさを検証します。これらのコアチェックには次のものが含まれます:

1. GateCheck: 秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C###x,ω(=0を満たしているかどうかを検証し、回路が正しく動作することを保証します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf)x( = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf)π(x()。

3. LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかを検証します。すなわち、f)Bµ( ⊆ T)Bµ(、特定の値が指定された範囲内にあることを確保します。

4. MultisetCheck: 二つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある宣言された値∏x∈Hµ f)x( = s に等しいかどうかを検出して、多項式積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck: 多変数多項式がブール超立方体上の任意の点でゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を保証するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の和が宣言された値∑x∈Hµ f)x( = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算複雑度を低減します。さらに、SumCheckはランダム数を導入することで、複数の和の検証インスタンスのバッチ処理を実現するための線形結合を構築することも許可します。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、以下の3つの点で改善を行っています:

• ProductCheckの最適化: HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非零であり、積が特定の値に等しいことを要求します; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを軽減します。

• ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できない; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を可能にする。

• 列を跨いだPermutationCheck:HyperPlonkにはこの機能がありません;Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置状況を処理できるようになります。

そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改善を通じて、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

) 2.3 PIOP:新しいマルチラインシフト引数------ブールハイパーキューブに適用

Biniusプロトコルでは、虚